Cambalache 3,14 - La vidriera irrespetuosa


Que el mundo fue y será una porquería, ya lo sé.

NIR*NIR*

(Respuesta a Máquina gödeliana)

NIR*NIR* se traduce como La repetición de NIR* no es imprimible. Por lo tanto, si es verdadera (imprimible) no es imprimible. Y si es falsa (no imprimible) es imprimible. Ya tenemos la paradoja. Ya tenemos el teorema de Gödel.

Sustituye ahora imprimible por calculable y máquina gödeliana por computadora y piensa el acertijo en términos de Inteligencia Artificial. O cambia imprimible por demostrable y máquina gödeliana por teoría y haz de filósofo.

El problema es la anotación #65 del libro 5000 años adC y otras fantasías filosóficas, una de las mejores obras del lógico matemático, mago, taoísta, pianista y fabricante de telescopios Raymond Smullyan (con quién me encantaría haber estudiado).

2005-10-17 00:48 | Categoría: Autorreferencia | 22 han comentado esto | Enlace permanente | Etiquetas: | Y dicen por ahí

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Comentarios

1
De: melocotoncito Fecha: 2005-10-17 11:06

Ayyy, me duele la cabeza... ¿Ésta es la forma más sencilla de explicar el teorema de Gödel? ¿No hay una manera más simple?



2
De: Fer Fecha: 2005-10-17 11:43

Me parece que esta es una forma sencilla de ilustrar el teorema, no necesariamente de explicarlo. (A ver si nuestros doctores quieren ampliar las implicaciones de este teorema).
Me confieso lingüísta venido a menos y me estoy metiendo en terreno fuera de mi campo natural de estudios. Pero como la ignorancia es osada ahí va más:
Gödel nos viene a decir que en los sistemas complejos hay elementos que no se pueden determinar desde dentro del propio sistema. O dicho de otra manera, que cada vez que nos hacemos una paja mental y la llamamos modelo científico y creemos que es perfecto y cerrado, en alguna esquinita de ese modelo nos estará mirando una paradoja o una determinación, riéndose de nuestra soberbia.
Los estudios de complejidad, caos, cálculo difuso, teorías de computación, el principio de indeterminación, la mecánica cuántica, etc. nos repiten una implicacíón que se deriva del teorema de Gödel: somos muy limitados para poder ser más listos que la naturaleza. Nos falta comer muchas sopas y puede que nunca lleguemos a entender al mundo.
Yo encuentro divertido el intento. Gracias a Zifra por compartir estas perlas con los legos.
Un abrazo.



3
De: melocotoncito Fecha: 2005-10-17 11:53

Sigo sin entender nada... Imaginemos que soy un niño de seis años. ¿Podríais explicarmelo y yo entenderlo?



4
De: Fer Fecha: 2005-10-17 12:03

La explicación de Zifra era clara. Haz las sustituciones que él sugiere más arriba. Llegarás a algo así como:
"Al intentar demostrar un teorema complejo, siempre te encuentrarás con elementos de tu teoría que, si bien son ciertos, no se pueden demostrar desde dentro de esa teoría". (Zifra, Salva, corregidme si me descarrío)
¿Como si tuvieses seis años...? Ahí va:
"Mira, amor, este puto mundo está muy complicado, cuando alguien te diga que tiene la verdad, toda la verdad y nada más que la verdad ríete en su puñetera cara porque te está mintiendo"



5
De: Salva Fecha: 2005-10-17 12:57

Lo que parece que no queda claro, es que esto no se cumple siempre, a saber:


  • El teorema no implica que todo sistema axiomático interesante sea incompleto. Por ejemplo, la geometría euclídea se puede axiomatizar de forma que sea un sistema completo. (De hecho, los axiomas originales de Euclides son casi una axiomatización completa. Los axiomas que faltan expresan propiedades que parecen tan obvias que fue necesaria la aparición de la idea de la prueba formal hasta que se echaron en falta.)


  • El teorema sólo se aplica a sistemas que permitan definir los números naturales como un conjunto. No basta con que el sistema contenga los números naturales. Además debe ser capaz de expresar el concepto "x es un número natural" usando los axiomas y la lógica de primer orden. Hay multitud de sistemas que contienen a los números naturales y son completos. Por ejemplo, tanto los números reales como los números complejos tienen axiomatizaciones completas.



También en Wikipedia (va camino de ser tan imprescindible como Google) hay más ejemplos.



6
De: Fer Fecha: 2005-10-17 16:40

Gracias por acudir al rescate de la ciencia, Salva. Y gracias también por ilustrarnos en general (y a mí en particular).



7
De: Salva Fecha: 2005-10-17 17:01

Nada hombre, me abrumas.

Mis conocimientos son "infinitesimos" comparados con las del señor de buena presencia que regenta esta bitácora.

Él si que nos debe ilustrar jeje.

Saludos.



8
De: Zifra Fecha: 2005-10-17 17:02

Sin autorreferencia no hay teorema, eso está claro... como está claro que un sistema sin autorreferencia es ¿cortito? ¿poco descriptivo?.

La geometría euclidiana es preciosa. ;-)



9
De: Chewie Fecha: 2005-10-17 17:21

No es que no se cumpla, es que el teorema sólo es aplicable a sistemas tan o más complejos que la aritmética:

For any formal theory in which basic arithmetical facts are provable, it is possible to construct an arithmetical statement which, if the theory is consistent, is true but neither provable nor refutable in the theory.



10
De: Salva Fecha: 2005-10-17 17:41

Bueno, pues aporto una precioso texto (quizas un poco dificil de seguir para los menos técnicos) de divulgación. Compara las máquinas de Turing con la mente humana y razona si nuestra mente es o no una máquina de Turing.

Define el Teorema de Gödel de forma más o menos asequible y lo utiliza para llegar a una posible respuesta. Genial lectura para una tarde lluviosa de otoño:


[...]
Consideremos a tal efecto un argumento que frecuentemente ha sido usado para esclarecer la analogía entre mentes y máquinas de Turing. Se trata del teorema mediante el cual K. Gödel demostró que todo sistema formal o es completo pero inconsistente, o bien es consistente pero incompleto. De acuerdo con Gödel, todo sistema axiomático siempre e inevitablemente dará lugar a teoremas o fórmulas que, perteneciendo a dicho sistema, serán, sin embargo, indecidibles o indemostrables dentro de este sistema. Consecuentemente, si el sistema es completo contendrá teoremas o fórmulas indemostrables y, por tanto, será inconsistente. Y al revés: el precio de la consistencia para todo sistema formal es que sea incompleto, esto es, que no incluya todos aquellos teoremas o fórmulas que, derivándose correctamente de sus axiomas y reglas de transformación, no obstante sean indemostrables desde sí mismo. Evidentemente, la solución consiste en elaborar para un sistema dado otro sistema que lo abarque y desde el cual sea posible demostrar los teoremas que se resistán al primero. Ahora bien, sucede que por los mismos motivos en este segundo sistema, y en cualquier otro que queramos construir sucesivamente, volverán a plantearse los mismos problemas que se presentaban con respecto al primero. En sentido estricto, las dificultades reaparecerán tantas veces como sistemas vayamos creando, es decir, podemos crear sistemas ad libitum pero las dificultades reaparecerán ad infinitum.

Y bien, ¿por qué es interesante el teorema de Gödel para nuestro problema? Muy simple: un ordenador (una máquina de Turing) es un sistema formal o sintáctico finito con respecto al cual, como con respecto a cualquier otro sistema formal, el teorema de Gödel se cumplirá. Dicho de otra manera: los ordenadores son máquinas gödelianas para las cuales siempre habrán teoremas pertenecientes a sus programas que les serán indemostrables. Y el problema es que no podemos construir un sistema infinito de ordenadores, así como no podemos construir infinitos sistemas formales. Y he aquí la conclusión importante: un sistema formal o sintáctico por su propia esencia está incapacitado para la autorreferencia o, si se quiere, para la autoconsciencia. Ningún sistema formal y, por tanto, ningún ordenador puede referirse a sí mismo o tomarse a sí mismo en consideración de una forma completa: ni podrá demostrar, ni alterar todo aquello que lo define.

La gracia de esta argumentación estriba, evidentemente, en afirmar que la mente humana no es gödeliana. Y ello parece cierto, al menos, en algún sentido: la mente humana puede lo que un ordenador no puede, tanto con respecto a sí misma como con respecto a cualquier ordenador. La mente humana tendría una capacidad recursiva infinita o, si se quiere, una capacidad infinita de autorreferencia o de autoconsciencia, ya que siempre se tiene la posibilidad de crear un sistema formal n que abarque a cualquier sistema dado y que demuestre lo que este sistema es incapaz de demostrar de sí mismo. Con otras palabras: la mente humana puede de forma infinita ser consciente de sí misma y tomarse en consideración a sí misma de forma infinita, cosa que no pueden hacer los ordenadores.

La que acabo de exponer es, en resumen, la argumentación que J.R. Lucas ha realizado en contra de las valoraciones de Turing y Putnam del poder demostrativo del teorema de Gödel con respecto a las diferencias entre la mente humana y los ordenadores21. Para Turing, por ejemplo, el teorema de Gödel no demostraba nada porque, en su opinión, no es cierto que los seres humanos no sean sistemas gödelianos. Para Turing, somos seres con limitaciones gödelianas; y además, así como hay seres humanos más inteligentes que otros, también hay o pueden haber ordenadores más inteligentes que otros y más inteligentes que muchos seres humanos22. A su vez, Putnam argüía, de forma parecida, que un ordenador puede poseer en su programa el teorema de Gödel y que la supuesta superioridad de la mente humana no debe consistir en poseer tal teorema, sino en demostrar para todo sistema dado que o es completo pero inconsistente, o bien que es consistente, pero incompleto. Y esto es precisamente lo que resulta, según Putnam, bastante inalcanzable para la mayoría de los seres humanos, si el sistema formal en cuestión es suficientemente complejo23.

Bueno, ¿y quién lleva razón?, ¿somos o no somos sistemas gödelianos? Creo que la discusión está viciada. Por una parte, parece que lleven razón Turing y Putnam al afirmar que la mente humana es tan gödeliana como cualquier ordenador: de hecho, la mayoría de los seres humanos no somos ni matemáticos, ni mucho menos matemáticos brillantes. El problema, sin embargo, es que se ha planteado, en mi opinión, en un terreno estéril, cosa que convierte a la discusión, como acabo de decir, en una disputa viciada. Creo que el problema debe ser tratado desde la perspectiva de nuestra conducta en tanto organismos que somos y no estrictamente desde nuestra posible conducta formal. Vayamos a ello.

Lo que Gödel viene a decimos es que un sistema formal llegará un momento en que quedará, digamos, "bloqueado", ya que habrán enunciados que le pertenecen y que le son indemostrables. Ahora bien, los seres humanos no somos sistemas formales y, por tanto, no somos sistemas gödelianos, aunque un sistema formal pueda ser un buen modelo explicativo para algunas de las cosas que hacemos. Por el contrario, los seres humanos somos organismos biológicos socializados y, como tales, la acción nos es esencial. Y he aquí lo importante: como organismos no podemos dejar o abstenernos de actuar. Dicho de otro modo: la posibilidad de quedarnos parados, quietos o "bloqueados" o en una tesitura de indecidibilidad nos es imposible, so pena de dejar de ser organismos y cesar. En cualquier situación que se nos presente, aun en el caso que no sepamos qué es lo que más nos conviene o lo que es más correcto o lo verdadero, siempre actuaremos bien o mal saliendo del impasse, modificando la situación, o intentando solucionar la dificultad que nos apremiaba, etc. En realidad es ésta la manera como la especie humana ha ido evolucionando biológica y socialmente hasta llegar a ser lo que ahora somos. Y lo mismo, mutatis mutandis, puede ser dicho con respecto a la constitución individual de un ser humano: su desarrollo físico y mental se lleva a cabo por la acción. En resumen: nos es esencial e inevitable interactuar con el medio que nos rodea. Ya lo decía el Fausto de Goethe: "Al principio fue la acción". [...]


Las negritas son mías. Saludos.



11
De: Fer Fecha: 2005-10-17 19:58

A ver si me echan otro capote Zifra y Salva. Oye, ¿no es la mente humana un sistema complejo? Con ello me refiero a que es un sistema No Polinomial, que tiene demasiadas variables y por tanto no calculable. ¿Se sostiene Gödel en sistemas difusos? (Recordad que soy de letras)



12
De: Zifra Fecha: 2005-10-17 20:21

Bueno, esto es casi sicología. Quizás tendría que responderte Algernon que es el sicofrikinerd de blogalia.

Pero, desde mi punto de vista, el sistema de razonamiento (el "shell") es gödeliano, en contra de lo que dice Lucas, aunque el sistema operativo y el hardware sean complejos. En cualquier caso, los sistemas complejos suleen contener una aritmética de los naturales autodescriptible, con lo que el TG seguiría siendo válido.

Lo mismo cabe para los sistemas difusos. La lógica difusa amplía la de primer orden y se puede (Peano, Russell, Whitehead) construir una aritmética de naturales autodescriptible a partir de esta última.



13
De: Fer Fecha: 2005-10-17 20:38

Gracias por la aclaración. Por cierto, ¿Alguien se ha leído "Una nueva clase de Ciencia" (o como quiera que lo hayan traducido) de Stephen Wolfram?
Si es así, ¿Qué opináis del intento de construír una ciencia a base de algorítmos en vez de ecuaciones?



14
De: Zifra Fecha: 2005-10-17 20:49

¿el de Wolfram Research?



15
De: Fer Fecha: 2005-10-17 20:53

No sé. El cerebrito de la aplicación informática "Mathematica", o algo así. Creo que con los millones que se ha sacado de la aplicación luego se dedicó a investigaciones espaciales, a escribir el libro que te comenté, etc. Genio hiperactivo.



16
De: Algernon Fecha: 2005-10-17 20:54

Ejem.

Oye, ¿no es la mente humana un sistema complejo?

Todo lo compleja que quieras. Depende del nivel de análisis. Aunque más que mente sería mejor hablar de mente/cerebro... en fin, son escuelas... Hazme preguntas más concretas, porfa plis.

Por cierto, sin ánimo de ofender, es psicología, con 'p'... ya sé que la RAE admite la forma sin 'p', pero etimológicamente hablando puede confundirse con "la ciencia de los higos" :-)



17
De: Anónimo Fecha: 2005-10-17 20:55

Helo, helo:
http://www.stephenwolfram.com/



18
De: Zifra Fecha: 2005-10-17 20:57

Sí, claro que es el de wolfram research...

mi comentario anterior pretendía ser irónico, pero no creo que lo he conseguido

dos cosas:

  • eso no es nuevo, ya se intentó a principios del siglo XX con la lógica constructivista y la ciencia constructivista no ha llegado a ningún lado
  • el concepto de ciencia algorítmica de Wolfram es un intento de vender más copias de un software excelente pero carísimo



19
De: Zifra Fecha: 2005-10-17 20:59

Algernon: a mí me gusta también más con psi



20
De: Fer Fecha: 2005-10-17 21:00

El libro también es caro (y gordo) y cuando acabé de leerlo me quedé con la sensación de quen en me habían tomado el poco pelo que me queda.



21
De: Mitch Fecha: 2005-10-18 12:26

"el concepto de ciencia algorítmica de Wolfram es un intento de vender más copias de un software excelente pero carísimo".
Hombre, excelente, excelente.... Es muy cómodo de usar, la manipulación simbólica está currada y tiene paquetes para casi todo. Pero no deja de ser un CAS de propósito general, más bien orientado a la docencia, que está a años luz de otros sistemas más específicos a la hora de hacer tareas serias de verdad. Yo ya no lo uso ni en las prácticas que hago con mis alumnos; lo que necesito lo tengo en maxima ;p


P.D. A mí también me parecen falaces los argumentos de Lucas para decir que la mente humana es esencialmente distinta de un ordenador.



22
De: Zifra Fecha: 2005-10-18 12:29

De acuerdo, no es excelente :-) No quería iniciar esa discusión, pero ya que sale... de acuerdo contigo.

La implementación de los paquetes de Matemática Discreta es penosa, por ejemplo. Pero es cómodo y agradable.



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