Cambalache 3,14 - La vidriera irrespetuosa

Que el mundo fue y será una porquería, ya lo sé.

Primos de Mersenne

En la anotación anterior avisábamos del posible descubrimiento del cuadragésimo cuarto (44º) primo de Mersenne. Visto el desconocimiento existente sobre el tema, vamos a añadir la definición, algunos datos, un ejercicio y enlaces para ampliar conocimientos. Es que empieza el curso y hay que ir calentando motores...

Un Número de Mersenne es un número de la forma 2^p-1, dónde p es un número primo. Si además un número de Mersenne es primo, recibe el nombre de Primo de Mersenne .

Los primeros valores de p para los cuales el número correspondiente de Mersenne es primo son 2, 3, 5, 7, 13 (y los primos correspondientes son 3, 7, 31, 127, 8191). El primer primo p para el que el correspondiente número de Mersenne no es primo es el 11. (2¹¹-1=2047=23*89).

Para determinar si un número de Mersenne es primo o no se usa el test de primalidad de Lucas-Lehmer, que se basa en el siguiente teorema:

Sea p un primo impar y S_k la sucesión definida (por recurrencia) de la siguiente forma: S₁=4, S_k+1=S_k²-2.

Entonces, el número de Mersenne 2^p-1 es primo si (y sólamente si) S_p-1 es múltiplo de 2^p-1

Ejercicio: ~~encontrar el error en esta anotación de Microsiervos~~. El error ha sido corregido.

Ampliación de conocimientos: en la Wikipedia en español, en Mersenne.org (inglés) y en El Sofista (en español, con más enlaces).

Referencias (TrackBacks)

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Comentarios

De: Dem

Fecha: 2006-09-05 06:31

En Microsiervos dicen que hay infinitos primos de Mersenne y creo recordar que no está demostrado que sean infinitos. ¿O sí?

De: melocotoncito

Fecha: 2006-09-05 08:37

Según Microsiervos, dice que todo número en forma 2^n-1 es un número de Mersenne, y aquí, según el Maestro, sólo son números de Mersenne los de forma 2^p-1, donde p es un número primo, por lo que 2^3-1 puede que sea primo, pero no es un número de Mersenne.

¿Gallifante?

De: melocotoncito

Fecha: 2006-09-05 08:46

De la WP: "Cataldi determinó que si 2n − 1 es primo entonces n ha de ser primo"

Creo que me quedo sin gallifante...

De: melocotoncito

Fecha: 2006-09-05 08:50

No, un momento, sí que me llevo el gallifante... Microsiervos dice que número de Mersenne es todo número en forma 2^n-1, sea primo o no. Cataldi dice que si ^2^n-1 es primo, n es primo, pero no dice que todo número 2^n-1 sea primo.

¿Gallifante, al fin?

De: Zifra

Fecha: 2006-09-05 09:50

Tranqui, Melo: repasa tus respuestas con cuidado :)

De: melocotoncito

Fecha: 2006-09-05 10:49

Microsiervos:"Un número de Mersenne es un número de la forma M = 2n - 1. Por ejemplo, 2^7 - 1 = 127 es un número de Mersenne, más concretamente un primo de Mersenne, por ser además número primo."

Zifra:"Un Número de Mersenne es un número de la forma 2^p-1, dónde p es un número primo. Si además un número de Mersenne es primo, recibe el nombre de Primo de Mersenne."

Cataldi:"si 2^n − 1 es primo entonces n ha de ser primo"

El error es que Microsiervos define mal los números de Mersenne, porque aunque todo primo de Mersenne es número de Mersenne, no todo número de Mersenne es primo. Lo que ha hecho Micorsiervos es definir el conjunto de números naturales impares.

No sé si soy riguroso, pero creo que estoy en lo cierto.

De: Zifra

Fecha: 2006-09-05 11:08

No hombre, cuando microsiervos dice M=2n-1 es que se han comido el ^, quiere decir 2^n-1

Lo que se les olvida decir es que n TIENE que ser primo, si no no es un número de Mersenne

De: Zifra

Fecha: 2006-09-05 11:09

Por ejemplo, 15=2^4-1 NO es un número de Mersenne.

¿Medio gallifante?

De: Coquevas

Fecha: 2006-09-05 11:16

¿Con qué se queda? ¿con el galli o con el fante?

De: Zifra

Fecha: 2006-09-05 12:21

si es software libre con el galli, pero como melo es de XP se quedará con el fante

De: melocotoncito

Fecha: 2006-09-05 12:44

Zifra, sabía que era potencia, y no producto. De todas formas he sido demasiado "jovensaltamontes", así que lo dejamos en fante, pues.

Las quejas sobre mi sistema operativo, a mi empresa... :P

De: leandro

Fecha: 2006-09-08 01:13

hola soy leandro y queria saber si sabian como calcular los terminos de la sucesion lucas-lehmer o donde puedos encontrarlos.desde ya muchas gracias

De: Zifra

Fecha: 2006-09-08 08:23

Leandro: relee. O mejor: Lee. Están ahí arriba.

De: leandro

Fecha: 2006-09-09 20:56

Ya se que estan ahi arriba.¿Pero sabes cual es el termino S17?Supuse que "alguien" los había calculado.

De: rochy

Fecha: 2007-07-07 23:36

como encuentro un algoritmo para la factorisacion de los numeros de mersenne

De: rochy

Fecha: 2007-07-07 23:39

quien sepa esto por favor enviar a romabaro14@hotmail.com

De: ryitki

Fecha: 2008-09-17 18:01

kkhhuitcymi

De: ufgijppppppppppppp

Fecha: 2008-10-05 21:16

meftgffdhfjhcffkgn8uejhjbjkffjbmclgibk fgfuuedighvkzlkdfiiufdmdsfgmaosfuyrfbjivjf

De: Albert Einstein

Fecha: 2009-10-07 14:11

ajo rochy ambiciosa........

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