Cambalache 3,14 - La vidriera irrespetuosa

Grafos para la Física cuántica (II)

Vimos en una entrada anterior cómo había grafos que eran más cuánticos que otros, en el sentido siguiente: cuando estos grafos representan un conjunto de proposiciones cuánticas, hay más cantidad de verdad simultánea en ellos que si representaran a un conjunto de proposiciones booleanas. Dicho a lo llano, y simplificando mucho, esos grafos representan situaciones donde la Lógica Cuántica adquiere cierta ventaja sobre la Lógica Proposicional de Primer Orden (la de andar por casa que más o menos algunos usamos todos los días).

Las medidas que usábamos para distinguir estos grafos eran el número de independencia α, que nos proporciona el número de proposiciones booleanas que pueden ser ciertas simultáneamente en una situación modelada por el grafo (una arista representa proposiciones incompatibles) y la función θ de Lovász, que mide lo mismo pero en cuántico.

La pregunta que surge inevitablemente ahora es si, en estas situaciones donde la MC adquiere ventaja sobre la LPPO, hay alguna teoría que no sea cuántica que pueda ser aún mejor. Es decir, si hay alguna otra forma de ver el mundo que nos proporcione una mayor violación de la lógica clásica. ¿O acaso las teorías cuánticas son las más rompedoras?

Bueno, pues sin necesidad de elaborar las teorías, matemáticos y físicos cuánticos tenemos un parámetro en Teoría de Grafos que nos mide la máxima ruptura de la lógica que puede darse en cualquier teoría. Se llama fractional packing number, se escribe α^* y su definición se hace a través de un problema de optimización mediante programación lineal, por lo que por ahora nos conformaremos con saber que existe y que, además, se verifica una especie de Teorema Sandwich:
α≤θ≤α^*

Entonces, los grafos más interesantes para los estudiosos de lo cuántico son aquellos en que
α<θ≤α^*
porque, en este caso, se rompe la lógica clásica de la mayor forma posible en esa situación dada. Digamos que estas son situaciones completamente cuánticas. No existen grafos con menos de 10 vértices que correspondan a estas situaciones y sólamente hay cuatro con 10 vértices. Todavía estamos estudiándolos, pero el que tiene más aristas es el complementario del grafo de Petersen, el cual, entre otras muchas cosas es fuertemente regular:

El grafo de Petersen y su complementario

De nuevo podemos hacernos las mismas preguntas que nos hacíamos en la entrada anterior: De estos grafos completamente cuánticos ¿hay infinitos? Si no, ¿cuantos hay?. ¿Cómo son? ¿Podemos identificarlos? ¿Tiene propiedades comunes? ¿Todos ellos contienen pentágonos? ¿Hay alguna familia, finita o infinita, de grafos contenidos en todos los grafos cuánticos? O, al revés ¿hay subgrafos prohibidos, es decir, que si están en un grafo hacen que este no sea completamente cuántico? ¿Hay grafos más totalmente cuánticos que otros? ¿Cómo medir la cuanticidad total de un grafo? ¿Cómo son los invariantes de los grafos cuánticos? ¿Cuanto valen su cintura, radio, diámetro, índice de conexión, colorabilidad, número de clique, vertex cover,…?

En fin, preguntas, preguntas,… que intentaremos responder en nuestro trabajo y si es posbile, contar aquí las respuestas.

Pero los grafos sirven para más cosas en la Mecánica Cuántica. Pero hoy no os la vamos a contar aquí, es hora de coger la toalla y hablar de otras cosas. Permanezcan atentos a esta pantalla y vengan a visitarnos de vez en cuando.

Esta historia se presenta a la edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas cuya anfitriona es la pelirroja que nos dejó acompañarla a Japón, Clara Grima y al XIX Carnaval de la Física que administra Scientia

2011-05-25 17:38 | Categoría: | Enlace permanente | Etiquetas: | Y dicen por ahí

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Comentarios

De: Laura Anaya

Fecha: 2011-05-27 02:53

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You just have been goatsed!!! LOL ILMPSOMCFOASMT!!! XD
U MAD, BRO?
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